Introducción a la Matemática - Apuntes primer parcial

La recta númerica

Conjuntos númericos

• Naturales ($\mathds{N}$): ${ 1, 2, 3 ... +\infty }$. Conjunto númerico discreto, es decir, que entre 2 números consecutivos no hay números intermedios. Es un conjunto ordenado y su primer elemento es el número 1.
• Enteros ($\mathds{Z}$): ${ -\infty ... -1, 0, 1, 2 ... +\infty }$. También un conjunto discreto y ordenado. No existe primer elemento, los números se expanden hasta el infinito hacia los positivos y negativos.
• Racionales ($\mathds{Q}$): ${ \frac{a}{b}, a \in \mathds{Z}, b \in \mathds{N} }$. Dentro de este grupo están las fracciones y los números decimales. Dentro de las fracciones, ${a}$ pertenece a los enteros, y este designa el signo. ${b}$ pertenece a los enteros, es el que divide. También pertenecen los decimales, pudiendo ser periódicos ( ${\frac{13}{90}}$ ). No es un conjunto discreto, y se denomina denso. Se pueden encontrar números intermedios entre consecutivos (${\frac{a}{b} + 1 : 2}$).
• Irracionales ($\mathds{I}$): ${ \sqrt{3}, \pi, e }$. Conjunto con decimales infinitos no periódicos. Representan un valor específico.
• Reales ($\mathds{R}$): ${ \mathds{Q} \cup \mathds{I} }$. Unión de los racionales e irracionales. Comparte características entre dichos conjuntos.

Intervalos en los Reales

Un intervalo es un subconjunto de números reales. Estos intervalos pueden ser:

• Intervalo abierto: ${ (a, b) = \{ x | a < x < b \} }$
• Intervalo cerrado: ${ [a, b] = \{ x | a \leqslant x \leqslant b \} }$
• Intervalo mixto: ${ [a, b) = \{ x | a \leqslant x < b \} }$
• Intervalo al infinito: ${ [a, +\infty) = \{ x | x \leqslant a \} }$, ${ [-\infty, a) = \{ x | x > a \} }$

Unión

Dado 2 conjuntos A y B, la unión está formada por los elementos de A y B:

$${ A \cup B = \{ x | x \in A \lor x \in B \} }$$

• Ejemplo: Dado los conjuntos A y B donde ${ A : \{ \frac{-1}{2}, 1, -1 \} }$ y ${ B : \{ 1, 2 \} }$ la unión de los 2 conjuntos es ${ A \cup B = \{ \frac{-1}{2}, 1, -1, 2 \} }$.

Intersección

Dado 2 conjuntos A y B, la intersección está formada por los elementos que pertenecen a A y B:

$${ A \cap B = \{ x | x \in A \land X \in B \}}$$

• Ejemplo: Dado los mismos conjuntos A y B, la intersección de los 2 conjuntos es ${ A \cap B = \{ 1 \} }$.

Ecuaciones

Es una igualdad entre 2 expresiones algebraicas. Una expresión algebraica posee la forma ${ x + 1 }$ y una ecuación posee la forma ${ x + 1 = 5 }$. Un número es solución de una ecuación cuando se cumple una igualdad. El conjunto solución es el conjunto formado por todos las soluciones.

• Ejemplo:

$$\begin{align} 3x + 1 &= 5 \\ 3x (+ 1 - 1) &= (5 - 1) \\ 3x &= 4 \\ \frac{3x}{3} &= \frac{4}{3} \\ x &= \frac{4}{3} \\ \\ S &= \{ \frac{4}{3} \} \end{align}$$

• Propiedad: toda ecuación se transforma en otra equivalente cuando se ejecutan operaciones elementales iguales en ambos miembros.
  • Si a los dos miembros de una ecuación se les suma una misma cantidad positiva o negativa, la igualdad subsiste: $$a = b \Rightarrow a + c = b + c$$
  • Si los dos miembros de una ecuación se multiplican por una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste: $$a = b \Rightarrow a \cdot c = b \cdot c$$
  • Si los dos miembros de una ecuación se dividen por una misma cantidad no nula, positiva o negativa, la igualdad subsiste: $$\forall c \neq 0 \quad a = b \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{b}{c}$$

Además, una igualdad es una relación de equivalencia, con lo cual se cumplen las siguientes propiedades:

• Propiedad reflexiva: ${ a = a }$.
• Propiedad simétrica: Si ${ a = b }$, entonces ${ b = a }$.
• Propiedad transitiva: Si ${ a = b }$ y ${ b = c }$, entonces ${ a = c }$.

Inecuaciones

Una inecuación es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas. Una solución es un valor de la variable que cumple la desigualdad: $$x > 3 ; S = \{5\}$$ El conjunto solución son todas las soluciones que cumplen la desigualdad: $$x > 3 ; S = (3, +\infty)$$

• Ejemplo:

$$\begin{align} x + 6 &\geqslant 7 \\ x &\geqslant 7 - 6 \\ x &\geqslant 1 \\ \\ S &= [1, +\infty) \end{align}$$

Las inecuaciones comparten las mismas propiedades que las ecuaciones:

• Suma: ${ a < b \land c \in \mathds{R} \Rightarrow a + c < b + c }$

• Producto positivo: ${ a < b \land c > 0 \Rightarrow a \cdot c < b \cdot c }$

• Producto negativo: ${ a < b \land c < 0 \Rightarrow a \cdot c > a \cdot b }$

• Ejemplo:

$$\begin{align} 5 &< 10 \\ 5 \cdot 5 &< 10 \cdot 5 \\ 25 \cdot (-1) &< 50 \cdot (-1) \\ -25 &< -50 \\ \end{align}$$

Cómo -25 no es menor que -50, se debe invertir la desigualdad para que se siga cumpliendo: ${ -25 > -50 }$.

El plano de coordenadas en ${ \mathds{R}^2 }$

Es el conjunto solución que representa 2 dimensiones, es decir, un plano. ${ (a, b) }$ es un elemento de ${ \mathds{R}^2 }$. Los elementos de un plano se denominan puntos.

$$\mathds{R}^2 = \{ (x, y) | x \in \mathds{R} \land y \in \mathds{R} \}$$

las coordenadas cartesianas se denominan abscisa y ordenada. La abscisa es la coordenada horizontal y se representa por la letra ${x}$, mientras que la ordenada es la coordenada vertical y se representa por la ${y}$.